Propiedades

Algunas propiedades de la distribución normal son:

1. La moda y la mediana son ambas iguales a la media, μ;
2. Los puntos de inflexión de la curva se dan para x = μ − σ y x = μ + σ.
3. Distribución de probabilidad en un entorno de la media:
   1. en el intervalo [μ - σ, μ + σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 68,26% de la distribución;
   2. en el intervalo [μ - 2σ, μ + 2σ] se encuentra, aproximadamente, el 95,44% de la distribución;
   3. por su parte, en el intervalo [μ -3σ, μ + 3σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 99,74% de la distribución. Estas propiedades son de gran utilidad para el establecimiento deintervalos de confianza. Por otra parte, el hecho de que prácticamente la totalidad de la distribución se encuentre a tres desviaciones típicas de la media justifica los límites de las tablas empleadas habitualmente en la normal estándar.
4. Si X ~ N(μ, σ²) y a y b son números reales, entonces (aX + b) ~ N(aμ+b, a²σ²).
5. Si X ~ N(μ_x, σ_x²) e Y ~ N(μ_y, σ_y²) son variables aleatorias normales independientes, entonces:
   • Su suma está normalmente distribuida con U = X + Y ~ N(μ_x + μ_y, σ_x² + σ_y²) (demostración). Recíprocamente, si dos variables aleatorias independientes tienen una suma normalmente distribuida, deben ser normales (Teorema de Crámer).
   • Su diferencia está normalmente distribuida con .
   • Si las varianzas de X e Y son iguales, entonces U y V son independientes entre sí.
   • La divergencia de Kullback-Leibler, 
6. Si  e  son variables aleatorias independientes normalmente distribuidas, entonces:
   • Su producto  sigue una distribución con densidad  dada por

      donde  es una función de Bessel modificada de segundo tipo.

   • Su cociente sigue una distribución de Cauchy con . De este modo la distribución de Cauchy es un tipo especial dedistribución cociente.
7. Si  son variables normales estándar independientes, entonces  sigue una distribución χ² con n grados de libertad.
8. Si  son variables normales estándar independientes, entonces la media muestral  y la varianza muestral  son independientes. Esta propiedad caracteriza a las distribuciones normales y contribuye a explicar por qué el test-F no es robusto respecto a la no-normalidad).
9. Es simétrica respecto de su media, μ;