martes, 3 de junio de 2014

Difinición normal

La función de distribución de la distribución normal está definida como sigue:
\begin{align} \Phi_{\mu,\sigma^2}(x) &{}=\int_{-\infty}^x\varphi_{\mu,\sigma^2}(u)\,du\\ &{}=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{(u - \mu)^2}{2\sigma^2}}\, du ,\quad x\in\mathbb{R}\\ \end{align}
Por tanto, la función de distribución de la normal estándar es:
\Phi(x) = \Phi_{0,1}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{u^2}{2}} \, du, \quad x\in\mathbb{R}.
Esta función de distribución puede expresarse en términos de una función especial llamada función error de la siguiente forma:
\Phi(x) =\frac{1}{2} \Bigl[ 1 + \operatorname{erf} \Bigl( \frac{x}{\sqrt{2}} \Bigr) \Bigr], \quad x\in\mathbb{R},
y la propia función de distribución puede, por consiguiente, expresarse así:
\Phi_{\mu,\sigma^2}(x) =\frac{1}{2} \Bigl[ 1 + \operatorname{erf} \Bigl( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}} \Bigr) \Bigr], \quad x\in\mathbb{R}.
El complemento de la función de distribución de la normal estándar, 1 - \Phi(x), se denota con frecuencia Q(x), y es referida, a veces, como simplementefunción Q, especialmente en textos de ingeniería.5 6 Esto representa la cola de probabilidad de la distribución gaussiana. También se usan ocasionalmente otras definiciones de la función Q, las cuales son todas ellas transformaciones simples de \Phi.7
La inversa de la función de distribución de la normal estándar (función cuantil) puede expresarse en términos de la inversa de la función de error:
\Phi^{-1}(p) = \sqrt2 \;\operatorname{erf}^{-1} (2p - 1), \quad p\in(0,1),
y la inversa de la función de distribución puede, por consiguiente, expresarse como:
\Phi_{\mu,\sigma^2}^{-1}(p) = \mu + \sigma\Phi^{-1}(p) = \mu + \sigma\sqrt2 \; \operatorname{erf}^{-1}(2p - 1), \quad p\in(0,1).
Esta función cuantil se llama a veces la función probit. No hay una primitiva elemental para la función probit. Esto no quiere decir meramente que no se conoce, sino que se ha probado la inexistencia de tal función. Existen varios métodos exactos para aproximar la función cuantil mediante la distribución normal (véasefunción cuantil).
Los valores Φ(x) pueden aproximarse con mucha precisión por distintos métodos, tales como integración numérica, series de Taylor, series asintóticas y fracciones continuas.

Límite inferior y superior estrictos para la función de distribución[editar]

Para grandes valores de x la función de distribución de la normal estándar \scriptstyle\Phi(x) es muy próxima a 1 y \scriptstyle\Phi(-x)\,{=}\,1\,{-}\,\Phi(x) está muy cerca de 0. Los límites elementales
\frac{x}{1+x^2}\varphi(x)<1-\Phi(x)<\frac{\varphi(x)}{x}, \qquad x>0,
en términos de la densidad \scriptstyle\varphi son útiles.
Usando el cambio de variable v = u²/2, el límite superior se obtiene como sigue:
\begin{align} 1-\Phi(x) &=\int_x^\infty\varphi(u)\,du\\ &<\int_x^\infty\frac ux\varphi(u)\,du =\int_{x^2/2}^\infty\frac{e^{-v}}{x\sqrt{2\pi}}\,dv =-\biggl.\frac{e^{-v}}{x\sqrt{2\pi}}\biggr|_{x^2/2}^\infty =\frac{\varphi(x)}{x}. \end{align}
De forma similar, usando \scriptstyle\varphi'(u)\,{=}\,-u\,\varphi(u) y la regla del cociente,
\begin{align} \Bigl(1+\frac1{x^2}\Bigr)(1-\Phi(x))&=\Bigl(1+\frac1{x^2}\Bigr)\int_x^\infty\varphi(u)\,du\\ &=\int_x^\infty \Bigl(1+\frac1{x^2}\Bigr)\varphi(u)\,du\\ &>\int_x^\infty \Bigl(1+\frac1{u^2}\Bigr)\varphi(u)\,du =-\biggl.\frac{\varphi(u)}u\biggr|_x^\infty =\frac{\varphi(x)}x. \end{align}
Resolviendo para \scriptstyle 1\,{-}\,\Phi(x)\, proporciona el límite inferior.
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