martes, 3 de junio de 2014

Distribución hgipergeométrica

En teoría de la probabilidad la distribución hipergeométrica es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase que se tiene una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x (0 \le x \le d) elementos de la categoría A en una muestra sin reemplazo de n elementos de la población original.
La función de probabilidad de una variable aleatoria con distribución hipergeométrica puede deducirse a través de razonamientos combinatorios y es igual a
P(X=x)=\frac{{d \choose x}{{N-d \choose n-x}}}{{N \choose n}},
donde N es el tamaño de población, n es el tamaño de la muestra extraída, d es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada y x es el número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha categoría. La notación {a \choose x} hace referencia alcoeficiente binomial, es decir, el número de combinaciones posibles al seleccionar x elementos de un total a.
El valor esperado de una variable aleatoria X que sigue la distribución hipergeométrica es
E[X]=\frac{nd}{N}
y su varianza,
Var[X]=\bigg(\frac{N-n}{N-1}\bigg)\bigg(\frac{nd}{N}\bigg)\bigg( 1-\frac{d}{N}\bigg).
En la fórmula anterior, definiendo
p = \frac{d}{N}
y
q = 1-p\,,
se obtiene
Var[X]=npq\frac{N-n}{N-1}.
La distribución hipergeométrica es aplicable a muestreos sin reemplazo y la binomial a muestreos con reemplazo. En situaciones en las que el número esperado de repeticiones en el muestreo es presumiblemente bajo, puede aproximarse la primera por la segunda. Esto es así cuando N es grande y el tamaño relativo de la muestra extraída, n/N, es pequeño.
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